거리화가능성은 위상적 성질이다.


위상공간 $\left( X , \mathscr{T} \right)$ 의 위상을 만들어낼 수 있는 거리 $d :  X \times X \to [ 0 ,\infty ) $ 가 존재할 때, $X$ 를 거리화가능Metrizable이라고 한다.



증명

위상동형사상 $ f : X \to Y$ 가 존재하고 $X$ 가 거리화가능 공간이라고 하자.

$Y$ 가 거리화가능 공간임을 보이면 증명은 끝난다.


거리의 조건

(1) $d(x,y)=0 \iff x = y$

(2) $d(x,y) = d(y,x)$

(3) $d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)$


가정에서 $\left( X , d \right)$ 가 거리공간이 되는 거리 $d :  X \times X \to [ 0 ,\infty ) $ 가 존재한다.
여기서 $d' : Y \times Y \to [ 0 ,\infty ) $ 를 $d'(y_{1} , y_{2}) : = d \left( f^{-1} (y_{1}) , f^{-1} (y_{2}) \right) $ 으로 정의하자.
$d'$ 는 거리 $d$ 를 통해 정의되었으므로 $d'$ 역시 거리가 되는 조건들을 만족함을 쉽게 보일 수 있다.


$f$ 는 연속함수이므로 모든 열린 $ V \subset Y$ 에 대해 $f^{-1} (V)$ 는 $X$ 에서 열린 집합이다.

따라서 $\displaystyle f^{-1} (V) = \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} B_{d} (x, r_{x})$ 이고 양변에 상을 취하면

$\displaystyle V = f \left( \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} B_{d} (x, r_{x}) \right) $$\displaystyle = \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} f \left( B_{d} (x, r_{x}) \right) = \bigcup_{x \in f^{-1}(V)}  B_{d'} ( f(x) , r_{x}) $


(3) $f$ 가 연속함수면 모든 $\mathcal{N} ( f(a) ) $ 에 대해, $f^{-1} ( \mathcal{N} ( f(a) ) ) = \mathcal{N} (a)$

[2] $f^{-1}$ 가 연속이면 전단사 $f : X \to Y$ 는 열린 함수다.


$f$ 는 위상동형사상이므로, $B_{d'} ( f(x) , r) = B_{d'} ( y , r) = f \left( B_{d} ( f^{-1} (y) , r) \right) $ 는 $Y$ 에서 열린 볼이다.

따라서 모든 열린 볼들의 집합 $\mathscr{B}' := \left\{ B_{d'} (y, r) \ | \ y \in Y \land r>0 \right\} $ 는 $Y$ 의 기저가 되고, $Y$ 는 거리화가능 공간이다. ■


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