비점성 버거스 방정식 $\displaystyle \begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0  \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases}$ 해가 $u$ 고 그 파열 시간이 $t^{*}$ 라고 하자.



비점성 버거스 방정식의 해가 파열할 때, 위와 같이 왼쪽과 오른쪽의 넓이가 같아지도록 하는 선분으로 이어준다.

이렇게 물리적으로 해석할 수 있도록 해를 조정하는 것을 등적률等積律Equal Area Rule이라고 한다.


이렇게 생기는 불연속점의 위치를 $\sigma (t)$ 라고 하면 $\begin{cases} \displaystyle u^{+} (t) := \lim_{x \to \sigma(t)^{+}} u(t,x) \\ \displaystyle u^{-} (t) := \lim_{x \to \sigma(t)^{-}} u(t,x)\end{cases}$ 이고, 다음의 조건들을 만족시킨다.


(1) 랜킨-위고니오 조건Rankine-Hugoniot Condition : $\displaystyle \sigma ' (t) = {{d} \over {dt}} \sigma (t) = {{u^{+}(t) + u^{-}(t) } \over {2}} $

(2) 엔트로피 조건Entropy Condition : $u^{+} (t) \le \sigma'(t) \le u^{-} (t) $


풀어서 말해보자면 (1)은 파열 위치의 이동시간이 좌극한과 우극한의 평균으로 나타난다는 것이다.

(2)는 어찌보면 당연한데, 애초에 $u^{+} (t) \le u^{-} (t) $ 이 아니었다면 파열 자체가 일어나지 않았을 것이기 때문이다.


특히 (1)은 $u$ 가 해인 것과 필요충분조건인데, 해가 이 조건을 만족시키지 못하면 애초에 잘못 구했음을 확인할 수 있다.


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