르장드르 미분 방정식의 삼각함수 꼴 Trigonometry function form of associated Lengendre differential equation

물리학/수리물리학|2020. 2. 21. 15:24


삼각함수 꼴의 연관된 르장드르 미분 방정식

$$ \begin{align}\frac{ d^{2} y}{ d \theta^{2}  }+\cot \theta \frac{ d y}{ d  \theta}+ \left( l(l+1) -\frac{m^{2}}{\sin ^{2 }\theta} \right)y=0 \\ \mathrm{or} \quad\frac{1}{\sin \theta}\left(\sin \theta \frac{dy}{d\theta}  \right)+ \left(l(l+1) -\frac{ m^{2}}{\sin ^{2} \theta}  \right)y=0 \end{align}$$

전자기학, 양자역학 등에서 구면 좌표계에서의 라플라스 방정식을 풀 때 유용하다.

유도

연관된 르장드르 미분 방정식은 아래와 같다.

$$ (1-x^{2})\frac{ d^{2}y  }{ dx^{2}  }-2x \frac{dy}{dx}+\left( \frac{-m^{2}}{1-x^{2}}+\lambda \right)y=0 \tag{3}$$

$x=\cos \theta$로 치환하면 $dx=-\sin \theta d\theta$이므로

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d\theta}\frac{ d \theta }{ dx  }=-\frac{1}{\sin \theta}\frac{ dy  }{ d\theta  }$$

그리고

$$\begin{align*} \frac{ d ^{2} y}{ d^{2}x  }&=\frac{ d  }{ dx  }\left( -\frac{1}{\sin \theta} \frac{ d y}{ d\theta  }\right) \\ &= \frac{ d  }{ d\theta  }\left( -\frac{1}{\sin \theta} \frac{ d y}{ d\theta  }\right)\frac{ d \theta }{ dx  } \\ &=\left( \frac{\cos \theta}{\sin^{2} \theta} \frac{ d y}{ d\theta  } -\frac{1}{\sin \theta}\frac{ d^{2}y  }{ d\theta^{2}  }\right)\left( -\frac{1}{\sin \theta}  \right)  \\ &= \frac{1}{\sin ^{2} \theta} \left( \frac{ d ^{2}y }{ d \theta^{2}  }-\cot\theta \frac{ d y}{ d\theta  }\right) \end{align*}$$이다. 이제 $(3)$에 대입하면

$$ (1-\cos ^{2 \theta})\left( \frac{1}{\sin ^{2}\theta}\left(\frac{ d ^{2}y }{ d\theta ^{2}  }-\cot \theta \frac{ d y}{ d\theta  }\right) \right)+2\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\frac{ d y}{ d \theta }+\left(  \frac{-m^{2}}{1-\cos ^{2}\theta} +l(l+1)\right)y=0$$

정리하면 $(1)$을 얻는다.

$$\begin{align*}&&\frac{ d ^{2}y}{ d \theta^{2} }-\cot \theta \frac{ d y}{ d\theta  } + 2\cot \theta \frac{ d y}{ d\theta  } +\left(  \frac{-m^{2}}{\sin^{2} \theta} +l(l+1)\right)y=0 \\ \Rightarrow& &\frac{ d ^{2}y}{ d \theta^{2} }+\cot \theta \frac{ d y}{ d\theta  } +\left(  \frac{-m^{2}}{\sin ^{2}\theta} +l(l+1)\right)y=0 \end{align*}$$

2계항과 1계항을 묶으면 $(2)$를 얻는다

$$ \frac{1}{\sin \theta} \left(  \sin \theta \frac{ d y}{ d\theta  } \right)+\left(  \frac{-m^{2}}{\sin ^{2}\theta} +l(l+1)\right)y=0$$